TIL 코딩공장

백준 파이썬 공부 2025.03.14
17626번 Four Squares (실버 3)

1. 문제
라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 
어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 5^2과 1^2의 합이다; 
또한 4^2 + 3^2 + 1^2으로 표현할 수도 있다. 
역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 
1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 125^2 + 6^2 + 1^2 + 1^2라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 
좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 105^2 + 15^2 + 8^2 + 5^2.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

2. 입력
입력은 표준입력을 사용한다. 
입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 
여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

3. 출력
출력은 표준출력을 사용한다. 
합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

4. 문제 풀이
일단 1 에서부터 차례대로 제곱수의 개수를 나열해보았다.

1 > 1
2 > 1 1
3 > 1 1 1
4 > 2
5 > 2 1
6 > 2 1 1
7 > 2 1 1 1
8 > 2 2
9 > 3
10 > 3 1
11 > 3 1 1
12 > 2 2 2
13 > 3 2
14 > 3 2 1
15 > 3 2 1 1
16 > 4
...

1 2 3 
1 2 3 4 2 
1 2 3 3 2 3 4
1

단순히 숫자들의 나열로는 규칙을 찾기 어려운것 같다
구조를 해석해보자. 제곱수의 개수를 구하고 싶은 수 n이 있을때,

해당 수 n을 넘지않는 제곱수 m 의 제곱수 개수 1 
+ n-m의 제곱수 개수

를 n보다 작은 제곱수들 중 가장 작은 제곱수 개수를 출력하면 된다.
제곱수가 굉장히 커지기 때문에,
전부 다 돌아가면서 개수를 확인할 수 있는듯하다. 
그중 가장 작은 수가 최소 제곱수의 개수 이다.

>>>코드

n = int(input())
dp = [0, 1]
for num in range(2, n+1):
    square = 1
    cnt = 4
    while square**2 <= num:
        cnt = min(cnt, dp[num-square**2] + 1)
        square += 1
    dp.append(cnt)
print(dp[n])

5. 문제 링크
https://www.acmicpc.net/problem/17626